Notezqu’Excel calcule les heures en tant que fraction d’une journée, c’est pourquoi vous devez multiplier par 24 pour obtenir le nombre total d’heures. Dans le premier exemple, nous utilisons =((B2-A2)+(D2-C2))*24 pour calculer la jai besoin de savoir comment on peut calculer la somme des chiffres d'un nombre donne par l'utilisateur. (ex: 123==> s=1+2+3=6) Merci de votre aide! :) Moi aussi ( 21) Posez votre question. A voir également: Algorithme qui calcule la somme des chiffres d'un nombre. Eneffet, tous les nombres incarnent une fraction et peuvent s’écrire sous forme de division. En cours de maths en ligne, en arithmétique, pour obtenir un quotient il faut effectuer une division. Le quotient de A par B est le nombre Q tel que B × Q = A. Le quotient existe ou pas selon l’ensemble des nombres choisis. Lesfonction colSums() et rowSums() permettent de calculer les sommes respectivement, sur les colonnes et les lignes d’une matrice. Les fonction colMeans() et rowMeans() permettent de calculer les moyennes respectivement, sur les colonnes et Lecalculateur est en mesure de calculer le produit des termes d'une suite compris entre deux indices de cette suite. Ainsi, pour obtenir le produit des termes d'une suite définie par u n = n 2 entre 1 et 4 , il faut saisir : produit ( n; 1; 4; n 2) après calcul, le résultat 576 est retourné, ∏ n = 1 4 n 2 = 1 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 4 2 2x (6 x 5) = (2 x 6) x 5. - Nous disons que la multiplication est une opération associative ; nous pouvons choisir l’ordre des calculs, associer les termes afin de se faciliter les calculs, lorsque le produit est de plus de deux nombres. Ainsi pour trois nombres quelconques a, b et c, on a : (a x b) x c = a x (b x c) fC7v. Un calcul ratio en ligne vous aide à déterminer les ratios identiques en donnant trois parties sur quatre de deux ratios. En outre, ce calculateur de ratios fonctionne mieux pour trouver la cinquième et sixième partie des trois ratios en donnant quatre parties. Notre solveur de ratios effectue les sept opérations suivantes sur deux et trois ratios. Trouver l’équivalent d’un ratio Faire un rapport plus grand Réduisez le ratio Simplifier un ratio Simplifier un rapport en une forme 1 n m» Simplifier un rapport sous la forme n 1 m» Simplifier un rapport sous la forme n m 1» Avant d’utiliser ce calculer un ratio, nous devons connaître la définition de base, la formule du ratio et comment trouver le ratio manuellement. Continuez à lire pour avoir une brève connaissance sur la façon de faire des ratios. De plus, vous pouvez essayer notre calculateur de proportion en ligne qui vous aide à résoudre facilement les problèmes de proportion avec différentes méthodes. Continuer à lire! Qu’est-ce qu’un ratio? Elle peut être définie comme la comparaison entre les deux nombres particuliers, très souvent représentés sous forme de fractions». Simplement, il affiche combien une partie du rapport est contenue dans l’autre partie. Notre chercheur de ratio a été développé pour calculer ce contraste et déterminer la relation entre les nombres. Comment calculer un ratio étape par étape Le rapport comprend deux parties, le numérateur et le dénominateur exactement comme la fraction. Si nous avons les deux ratios et que nous voulons calculer le ratio pour la valeur manquante dans le ratio, suivez simplement les étapes indiquées Écrivez les ratios sous forme de fraction et mettez n’importe quelle variable x ou y dans la valeur manquante Définissez la fraction égale l’une à l’autre En utilisant la multiplication croisée, générez une équation Résoudre la variable manquante Enfin, essayez le calcul ratio pour vérifier votre réponse Vous pouvez obtenir de l’aide sur notre calculateur de fractions en ligne pour ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux ou trois fractions. Ici, nous avons un exemple manuel pour clarifier la compréhension Exemple Nous avons 6 tranches de pizza dont 2 sont mangées. Maintenant, nous voulons savoir combien de tranches peuvent être mangées sur les 54 tranches de pizza? Solution Étape 1 Écrivez le rapport sous forme de fraction comme suit Tranche mangée / tranche totale = 2/6 Tranche mangée / Tranche totale = x / 54 Étape 2 Définissez les fractions égales les unes aux autres 2/6 = x / 54 Étape 3 Par multiplication croisée 6x = 54 * 2 x = 54 * 2/6 x = 108/6 x = 18 Nous vous encourageons à utiliser notre calculer un ratio si vous envisagez de résoudre les ratios complexes de grands nombres. Comment utiliser le calcul ratio en ligne Notre calculatrice est un outil précis pour simplifier, et pour trouver la valeur inconnue dans le rapport. Il vous suffit de vous en tenir aux points suivants pour calculer les ratios Glissez dessus! Contributions Tout d’abord, appuyez sur l’onglet pour choisir le nombre de ratios que vous souhaitez effectuer les calculs. C’est soit A B ou A B C Très ensuite, sélectionnez la méthode de calcul dans la liste déroulante de cette calculatrice Ensuite, entrez dans les champs en fonction des paramètres d’entrée sélectionnés Une fois que vous avez terminé, appuyez sur le bouton de calcul Les sorties La calculatrice affiche Valeur s manquante s Simplification du ratio Représentation visuelle du ratio camembert Remarque Ce calculateur ratio ne vous donnera pas les valeurs dont vous n’avez pas besoin; il vous donnera la sortie en fonction des paramètres d’entrée. Qu’est-ce que le nombre d’or? Lorsque les deux quantités ont le même rapport que le rapport de leur somme à la plus grande des deux quantités, alors le rapport est appelé nombre d’or. Par exemple, les quantités exprimées en x & y, alors le nombre d’or entre x & y est x + y / x = x / y Note de fin Heureusement, vous savez comment résoudre les ratios à la main et avec la calculatrice. Le ratio est utilisé partout, de la cuisine à la construction de la maison. Il est très utile pour l’éducation K-12 et dans de nombreux autres domaines de la science comme la mécanique, les entreprises et les comptables, l’alimentation et bien d’autres. Quand il s’agit de résoudre les ratios pour des nombres complexes, utilisez simplement le calcul ratio en ligne qui vous aide à trouver la valeur manquante dans le ratio et simplifiez le ratio comme vous le souhaitez. Other Langauges Ratio Calculator, Oran Hesaplama, Kalkulator Rasio, Kalkulator Współczynnika, Verhältnis Berechnen, 比率 計算, 비율계산기, Výpočet Poměru, Calculadora Razão, Calcolo Rapporto, Калькулятор Соотношений, حساب النسبة, Suhde Laskuri, Forhold Lommeregner. Le taux d’endettement est un outil qui permet aux banques de s’assurer que vous disposez d’une capacité d’emprunt pouvant vous permettre de continuer à gérer sereinement vos finances. Il est question pour les établissements financiers de s’assurer que vous ne dépassiez le maximum de 35% autorisé pour le taux d’endettement. Dans le cadre d’un investissement locatif, le calcul du taux d’endettement n’est pas avantageux pour l’investisseur, c’est pourquoi certaines banques calculent plutôt un taux d’endettement différentiel. Qu’est-ce que c’est exactement et quel est la procédure de calcul qui lui est appliquée ? Toutes les réponses dans ce billet. A découvrir également Ma Prime Rénov’ pour financer ses travaux de rénovation Plan de l'articleTaux d’endettement différentiel définition et avantages ?Méthode de calcul du taux d’endettement différentielEtude de cas calcul du taux d’endettement différentielPremière étape Deuxième étape Troisième étape Taux d’endettement différentiel définition et avantages ? Avant de définir le taux d’endettement différentiel, il est important de rappeler ce qu’est le taux classique d’endettement et sur quelles bases il est calculé. La grande majorité des banques additionne la totalité des charges de l’emprunteur et y ajoute toutes ses mensualités de crédit. Le montant obtenu est alors diviser par l’ensemble de ses revenus et multiplier par 100 pour obtenir le taux d’endettement. Cependant ce calcul n’est pas du tout avantageux pour les projets liés à l’investissement dans le domaine foncier locatif. C’est la raison pour laquelle, certaines banques vont appliquer plutôt le calcul du taux d’endettement différentiel. A lire en complément Pourquoi acheter un logement neuf à Nantes ? Cette méthode de calcul est légèrement différente du calcul classique et est considérée comme étant plus avantageuse pour les investisseurs dans l’immobilier locatif. La particularité du différentiel foncier réside dans le fait que les loyers attendus du bien immobilier mis en location vont automatiquement venir compenser les charges de l’emprunteur. Ainsi la valeur du taux d’endettement sera réduite grâce à une meilleure prise en compte de votre situation globale. Notez que ce type de calcul est adopté par les banques pour faire la différence entre les emprunteurs particuliers et les investisseurs. En définitive, le différentiel est particulièrement indiqué pour les investisseurs dans l’immobilier, mais il n’est pas appliqué par toutes les banques. Veillez à bien vous renseigner auprès de la banque avant d’engager votre dossier de crédit. Méthode de calcul du taux d’endettement différentiel Pour le calcul du taux d’endettement différentiel, les banques procèdent en trois étapes. Il s’agit d’abord de calculer le solde investisseur, dans cette étape les charges foncières sont soustraites des revenus fonciers de l’investisseur. Notez que les revenus fonciers sont pondérés à 70%. Si le solde ainsi obtenu est positif, il sera ajouté aux revenus et dans le cas où il est négatif, il sera soustrait aux revenus. Enfin, il faudra diviser les mensualités de prêts par le solde investisseur calculé pour avoir le taux d’endettement différentiel. Cette méthode vous semble difficile à comprendre, nous allons prendre un exemple concret pour vous aider à mieux appréhender le concept de calcul du différentiel foncier. Etude de cas calcul du taux d’endettement différentiel Considérons un individu qui souhaite prendre un crédit pour investir dans un bien immobilier locatif. Il dispose d’un salaire net de 3000 euros par mois. Les revenus fonciers totaux de cette personne sont d’environ 1200 euros et une pondération à 70% donne 840 euros par mois ; considérons que ses mensualités de prêt soient évaluées à 1000 euros par mois ; les charges foncières de cet investisseur sont de 700 euros par mois. Voici la méthode de calcul appliquée pour le calcul du différentiel foncier Première étape Le calcul du solde investisseur = Revenus fonciers – Charges foncières = 840 – 700 = 140 euros le solde est positif, donc on va l’ajouter aux revenus. Deuxième étape Les revenus + déficit foncier = 3000 + 140 = 3140 euros Troisième étape On peut dès lors calculer le taux d’endettement différentiel par la formule suivante 1000 / 3140 = 31,85 %. Avec la méthode de calcul classique, on aurait obtenu 700 + 1000 / 3000 + 840 x 100 = 44,27 %. Sur la base de ces calculs, Il est évident que le taux d’endettement différentiel est bien moins élevé que pour le taux d’endettement classique et même plus, il est inférieur au 35% fixé comme la valeur minimum du taux d’endettement. Le taux d’endettement différentiel est indiqué pour les investissements locatifs et va vous permettre d’augmenter considérablement votre capacité d’emprunt. J’ai croisé cette question sur un groupe de discussion et je trouve que c’est un bon algorithme à travailler ensemble. Commencez par chercher à y répondre par vous-même. Arrêtez là votre lecture, prenez une feuille et un stylo, et tentez de calculer la somme des entiers pairs et le produit des entiers impairs d’un tableau que l’on vous a donné en entrée. Vous avez un algo ? Si c’est trop dur du premier coup, n’hésitez pas à découper le problème en 2, calculer la somme des entiers paires, et ensuite, modifiez l’algo pour calculer aussi le produit des entiers impairs. D’ailleurs, c’est ce que nous allons faire. 😊 Si vous souhaitez apprendre, je vous recommande de lire cet article pas à pas, en tentant à chaque fois de faire l’algorithme par vous-même. Autant vous ne pouvez pas deviner comment faire tant que vous ne l’avez pas déjà vu 1 ou 2 fois. Autant vous ne serez jamais autonome si vous ne cherchez pas au maximum à faire par vous-même dès que c’est possible ! Pratiquez, pratiquez, pratiquez ! N’oubliez pas ce vieil adage c’est en forgeant que l’on devient forgeron ! ». Tous les codes indiqués dans cet article sont en pseudo-code. Je mettrais plus tard un exemple en Java et/ou dans le langage de votre choix. Calcul de la somme des entiers pairs Imaginons que nous ayons un tableau nommé nombresEntiers » dont nous connaissons la taille tailleNombresEntiers ». Comment calculer cette somme ? De manière logique, sans entrer dans le verbiage informatique, nous devons Consulter chaque nombre un par un Reconnaitre s’il s’agit d’un nombre pair ou d’un nombre impair S’il s’agit d’un nombre pair, je l’ajoute à la somme des nombres pairs que je calcule petit à petit imaginez une feuille où je somme petit à petit tous les nombres pairs que je rencontre. Une fois tous les nombres analysés, nous avons la somme, il suffit de l’afficher. Pour convertir cela sous forme informatique, voici ce que je dois faire 1 Consulter tous les nombres un par un. Il nous faut itérer sur le tableau avec une boucle Pour. Notez bien que toutes les boucles peuvent faire l’affaire ! Les boucles Pour, Repeter, Faire… Repeter sont toutes équivalentes à quelques différences près. En tout cas il est toujours possible de passer de l’une à l’autre. Nous utilisons Pour dans ce cas, car c’est la boucle la plus adaptée au parcours de tableau. Toutes les informations sont réunies sur la première ligne, c’est plus lisible, tout le monde utilise Pour pour un parcours de tableau. Pourint i = 0 ; i< tailleNombresEntiers ; i++ faire // Votre code ici FinPour Pour information, voici les correspondances entre les boucles en pseudo-code français et les boucles en informatique Pour for Repeter while Faire … repeter do … while 2 Comment reconnaître un nombre pair ? Pour cela nous allons utiliser l’opération modulo. Le modulo nous donne le reste de la division entière entre deux nombres lien wikipedia. C’est une très bonne technique pour identifier des cycles. Ici nous cherchons les nombres pairs, donc tous ceux qui sont divisibles par 2. Ces nombres auront donc un reste de 0. Quelques exemples pour vous en convaincre 6 modulo 2 = 0 quand on divise 6 par 2 en division entière, il reste rien à diviser, car 6 est directement divisible par 2 cela donne un quotient de 3 attention, module est le reste de la division entière, pas le résultat ! C’est uniquement ce qu’il reste, qui n’a pas pu être divisé. 7 modulo 2 = 1 quand je divise 7 par 2 en division entière il me reste 1, car 7 n’est pas directement divisible par 2 en division entière. C’est 6 qui l’est. Il reste donc 1 qui correspond à l’écart entre 7 et 6. 12 modulo 2 = 0 17 modulo 2 = 1 Vous pouvez explorer la fonction modulo par vous-même en utilisant la calculatrice intégrée de Google Pour mieux comprendre l’immense intérêt des modulos pour identifier des cycles en informatique, testez des modulos par 5, par 7, par 8 … 7 modulo 5 = 2 8 modulo 5 = 3 9 modulo 5 = 4 10 modulo 5 = 0 Vous êtes maintenant capable d’identifier des cycles de 5, ou des cycles de toute autre nature 😊. Nous savons identifier les nombres pairs, il nous reste à le faire dans un test pour conditionner le code permettant de les sommer Si nombresEntiers[i] modulo 2 == 0 Alors // votre code ici FinSi Testez ce code avec un affichage, vous verrez qu’il n’affiche que les nombres pairs. 😊 3 Sommer les nombres pairs Nous savons parcourir le tableau et identifier tous les cas de nombres pairs pour exécuter du code spécifique seulement dans ces cas-là. Quel code pouvons-nous mettre pour calculer la somme ? En informatique nous procédons comme dans la vraie vie. Nous commençons par faire la somme entre les deux premiers, puis entre le résultat et le nombre suivant, et ainsi de suite jusqu’au dernier nombre à ajouter. Ensuite, nous faisons cela petit à petit en même temps que la boucle parcourt le tableau et identifie des nombres pairs. Ajoutez une variable sommeDesNombresPairs » juste avant la boucle, et l’initialiser à 0 . Oui, au début, je n’ai sommé aucun nombre pair, donc la somme vaut 0. Ensuite, à chaque tour de boucle, quand j’ai identifié un nombre pair, je peux simplement faire la somme entre ce nombre et ma variable sommeDesNombresPairs et je stocke le résultat dans cette même variable. Le code pour faire cela est tout simple sommeDesNombresPairs = nombresEntiers[i] + sommeDesNombresPairs ; Cela donne le code complet suivant Pourint i = 0 ; i< tailleNombresEntiers ; i++ faire Si nombresEntiers[i] modulo 2 == 0 Alors sommeDesNombresPairs = nombresEntiers[i] + sommeDesNombresPairs; FinSi FinPour 4 À la fin, afficher. Il s’agit de la partie la plus simple, tout le travail a déjà été fait en cumulant petit à petit la somme des entiers pairs dans sommeDesNombresPairs ! 😊 Il suffit maintenant de l’afficher juste après la fermeture de la boucle AffichersommeDesNombresPairs ; Calcul du produit des entiers impairs Stoppez là votre lecture ! Tentez de le faire par vous-même, nous avons déjà vu tout ce qui vous permettait de répondre à cette question. Car au final, qu’est-ce qui différencie cette question de la précédente ? Il faut identifier les nombres impairs. Il faut en faire le produit. Vous avez déjà les briques vous permettant de répondre à ces questions. Allez-y, lancez-vous ! Toujours des questions ? Voici un peu d’aide 1 Identifier les nombres impairs Pour cela, il suffit d’ajouter un test portant toujours sur le modulo. Au lieu de tester si le reste de la division entière par 2 est de 0, vous allez tester s’il est de 1. En effet, tous les nombres impairs auront un reste de division entière de 1. Voici le code Si nombresEntiers[i] modulo 2 == 1 Alors // le code ici FinSi Notez que vu que les entiers sont soit pairs soit impairs, nous pourrions très bien ajouter une clause sinon sur le test des cas pairs. 2 Calculer le produit des nombres impairs Surtout ne pas toucher à la variable que nous avions créée. Il faut en faire une autre dans laquelle nous allons progressivement calculer le produit. Appelons la produitDesNombresImpairs. Le calcul, de manière similaire, va être de faire la multiplication entre le nombre impair trouvé et produitDesNombresImpairs. Ensuite, stocker le résultat de cette multiplication dans produitDesNombresImpairs lui-même pour en tenir compte par la suite. Voici le pseudo-code produitDesNombresImpairs = nombresEntiers[i] * produitDesNombresImpairs; En conclusion Nous avons vu quelques points récurrents des algorithmes. La fonction modulo pour identifier les cycles et le calcul progressif d’une somme ou d’un produit en utilisant une variable créée pour l’occasion. J’espère que cet article vous aide à découvrir la programmation et à comprendre comment créer un algorithme. N’hésitez pas à le partager s’il peut être utile à d’autres personnes. Si vous voulez que je mette ce code dans un langage particulier, indiquez-le-moi dans les commentaires. Manipulation des symboles sommes et produits Enoncé Pour chaque question, une seule réponse est juste. Laquelle? La somme $\sum_{k=0}^n 2$ $$\mathbf a.\textrm{ n'a pas de sens}\ \ \mathbf b. \textrm{ vaut }2n+1\ \ \mathbf c.\ \textrm{vaut }2n.$$ La somme $\sum_{p=0}^{2n+1}-1^p$ est égale à $$\mathbf a.\ 1\ \ \mathbf b.\ -1\ \ \mathbf c.\ 0.$$ Le produit $\prod_{i=1}^n 5a_i$ est égal à $$\mathbf a.\ 5\prod_{i=1}^n a_i\ \ \mathbf b.\ 5^n\prod_{i=1}^n a_i\ \ \mathbf c.\ 5^{n-1}\prod_{i=1}^n a_i.$$ Enoncé Écrire à l'aide du symbole somme les sommes suivantes $2^3+2^4+\cdots+2^{12}$. $\frac 12+\frac24+\frac{3}8+\cdots+\frac{10}{1024}$. $2-4+6-8+\cdots+50$. $1-\frac 12+\frac13-\frac 14+\cdots+\frac1{2n-1}-\frac{1}{2n}$. Enoncé Écrire à l'aide du symbole $\sum$ les sommes suivantes $n+n+1+\dots+2n$; $\frac{x_1}{x_n}+\frac{x_2}{x_{n-1}}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{x_2}+\frac{x_n}{x_1}$. Enoncé Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\sum_{k=n}^{2n}\frac 1k$. Simplifier $u_{n+1}-u_n$ puis étudier la monotonie de $u_n$. Enoncé Soit $n\geq 1$. Démontrer que $$\sum_{k=n+1}^{2n-1}\ln\left\sin\left\frac{k\pi}{2n}\right\right=\sum_{k=1}^{n-1} \ln\left\sin\left\frac{k\pi}{2n}\right\right.$$ Enoncé Calculer la somme $\sum_{k=1}^n \left\frac 1k-\frac1{n+1-k}\right$. Enoncé Simplifier les sommes et produits suivants $$\begin{array}{lcl} \mathbf 1.\ \sum_{k=1}^n \ln\left1+\frac 1k\right&\quad\quad&\mathbf 2.\ \prod_{k=2}^n \left1-\frac1{k^2}\right\\ \mathbf 3.\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+2k+3}. \end{array}$$ Enoncé Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $k\in\mathbb N$, $$\frac 1{k+1k+3}=\frac a{k+1}+\frac b{k+3}.$$ En déduire la valeur de la somme $$S_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1k+3}.$$ Enoncé En utilisant une somme télescopique, calculer $\sum_{k=1}^n k\cdot k!$. Enoncé Déterminer une suite $u_k$ telle que, pour tout $k\geq 0$, on ait $$u_{k+1}-u_k=k+2 2^k.$$ En déduire $\sum_{k=0}^{n}k+22^k.$ Enoncé Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $$n+1!\geq\sum_{k=1}^n k!\quad.$$ Enoncé Soit $n\geq 1$ et $x_1,\dots,x_n$ des réels vérifiant $$\sum_{k=1}^n x_k=n\textrm{ et }\sum_{k=1}^n x_k^2=n.$$ Démontrer que, pour tout $k$ dans $\{1,\dots,n\}$, $x_k=1$. Calcul de sommes et de produits Enoncé Pour $n\in\mathbb N^*$, on note $$a_n=\sum_{k=1}^n k,\ b_n=\sum_{k=1}^n k^2\textrm{ et }c_n=\sum_{k=1}^n k^3.$$ Démontrer que $\displaystyle a_n=\frac{nn+1}2$, que $\displaystyle b_n=\frac{nn+12n+1}6$ et que $c_n=a_n^2$. Enoncé Calculer les somme suivantes $A_n=\sum_{k=1}^n 3$. $B_n=\sum_{k=1}^n A_k$. $S_n=\sum_{k=0}^{n}2k+1$. Enoncé Calculer les sommes suivantes $S=\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{2^{20}}+\frac{1}{2^{30}}+\cdots+\frac{1}{2^{1000}}$. $T_n=\sum_{k=0}^n \frac{2^{k-1}}{3^{k+1}}$. Enoncé Calculer la somme suivante $$\sum_{k=1}^n n-k+1.$$ Enoncé Calculer la somme suivante $$\sum_{k=-5}^{15} k10-k.$$ Enoncé Soit $n\in\mathbb N$. Calculer $A_n=\sum_{k=2n+1}^{3n}2n$. Calculer $B_n=\sum_{k=n}^{2n}k$. En déduire la valeur de $S_n=\sum_{k=n}^{3n}\mink,2n$. Enoncé Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2}$. Calculer explicitement $u_n$, puis en déduire la limite de la suite $u_n$. Enoncé Pour $n\in\mathbb N^*$ et $x\in\mathbb R$, on note $$P_nx=\prod_{k=1}^n \left1+\frac xk\right.$$ Que valent $P_n0$, $P_n1$, $P_n-n$? Démontrer que pour tout réel non-nul $x$, on a $$P_nx=\frac {x+n}xP_nx-1.$$ Pour $p\in\mathbb N^*$, écrire $P_np$ comme coefficient du binôme. Enoncé Soit pour $n\in\mathbb N$, $u_n=-2^n$. Calculer les sommes suivantes $$\sum_{k=0}^{2n} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{2n+1} u_{k};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{2k};\quad \sum_{k=0}^{2n} u_{k}+n;\quad \left\sum_{k=0}^{2n} u_{k}\right+n;\quad \sum_{k=0}^{n} u_{k+n};\quad \sum_{k=0}^{n} u_{kn}.$$ Enoncé Simplifier la somme $\sum_{k=1}^{2n}-1^k k$ en faisant des sommations par paquets. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mtn^*$, on a $$S_n=\sum_{k=1}^n -1^k k=\frac{-1^n 2n+1-1}{4}.$$ Retrouver le résultat précédent. Enoncé Soit $x\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N^*$. Calculer $S_nx=\sum_{k=0}^n x^k.$ En déduire la valeur de $T_nx=\sum_{k=0}^n k x^k.$ Enoncé Soient $a_n_{n\in\mathbb N}$ et $B_n_{n\in\mathbb N}$ deux suites de nombres complexes. On définit deux suites $A_n_{n\in\mathbb N}$ et $b_n_{n\in\mathbb N}$ en posant $$A_n=\sum_{k=0}^n a_k,\quad\quad b_n=B_{n+1}-B_n.$$ Démontrer que $\sum_{k=0}^n a_kB_k=A_n B_n-\sum_{k=0}^{n-1}A_kb_k.$ En déduire la valeur de $\sum_{k=0}^n 2^kk$. Sommes doubles Enoncé Soit $a_{i,j}_{i,j\in\mathbb N^2}$ une suite double de nombres réels. Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels. Intervertir les sommes doubles suivantes $S_1=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^n a_{i,j}$; $S_2=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{n-i}a_{i,j}$; $S_3=\sum_{i=0}^n \sum_{j=i}^m a_{i,j}$ où on a supposé $n\leq m$. Enoncé Calculer les sommes doubles suivantes $\sum_{1\leq i,j\leq n}ij$. $\sum_{1\leq i\leq j\leq n}\frac ij$. Enoncé Pour $n\geq 1$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$ et $u_n=\sum_{k=1}^n S_k$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n=n+1S_n-n$. Enoncé En écrivant que $$\sum_{k=1}^n k2^k=\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^k 2^k,$$ calculer $\sum_{k=1}^n k2^k$. Enoncé Pour $n\in\mathbb N$, on note $$a_n=\sum_{k=1}^n k,\ b_n=\sum_{k=1}^n k^2\textrm{ et }c_n=\sum_{k=1}^n k^3.$$ Pour cet exercice, on admettra que $\displaystyle a_n=\frac{nn+1}2$, que $\displaystyle b_n=\frac{nn+12n+1}6$ et que $c_n=a_n^2$. Calculer $\displaystyle \sum_{1\leq i\leq j\leq n} ij$. Calculer $\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \mini,j$. Coefficients binômiaux - formule du binôme Enoncé Soient $n,p\geq 1$. Démontrer que $$\binom{n-1}{p-1}=\frac pn \binom np.$$ Pour $n\in\mathbb N$ et $a,,b$ réels non nuls, simplifier les expressions suivantes $$\mathbf 1.\ n+1!-n!\ \quad\mathbf 2.\ \frac{n+3!}{n+1!}\ \quad\mathbf 3.\ \frac{n+2}{n+1!}-\frac 1{n!}\ \quad\mathbf 4.\ \frac{u_{n+1}}{u_n}\textrm{ où }u_n=\frac{a^n}{n!b^{2n}}.$$ Enoncé Soit $n\in\mathbb N$. Pour quels entiers $p\in\{0,\dots,n-1\}$ a-t-on $\binom np<\binom n{p+1}$. Soit $p\in\{0,\dots,n\}$. Pour quelles valeurs de $q\in\{0,\dots,n\}$ a-t-on $\binom np=\binom nq$? Enoncé Soit $p\geq 1$. Démontrer que $p!$ divise tout produit de $p$ entiers naturels consécutifs. Enoncé Développer $x+1^6$, $x-1^6$. Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{p=0}^n \binom np=2^n.$ Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{p=0}^n \binom np 2^p=3^n$. Démontrer que, pour tout entier $n$, on a $\sum_{k=1}^{2n}\binom{2n}k -1^k 2^{k-1}=0.$ Enoncé Quel est le coefficient de $a^2b^4c$ dans le développement de $a+b+c^7$? Calculer la somme $$\binom{n}0+\frac12\binom{n}1+\dots+\frac{1}{n+1}\binom{n}{n}.$$ Soient $p,q,m$ des entiers naturels, avec $q\leq p\leq m$. En développant de deux façons différentes $1+x^m$, démontrer que $$\binom{m}{p}=\binom{m-q}p+\binom{q}1\binom{m-q}{p-1}+\dots+\binom{q}k\binom{m-q}{p-k}+\dots+\binom{m-q}{p-q}.$$ Enoncé Soient $n,p$ des entiers naturels avec $n\geq p$. Démontrer que $$\sum_{k=p}^n \dbinom{k}{p}=\dbinom{n+1}{p+1}.$$ Enoncé Calculer $1+i^{4n}$. En déduire les valeurs de $$\sum_{p=0}^{2n}-1^p \dbinom{4n}{2p}\textrm{ et }\sum_{p=0}^{2n-1}-1^p \dbinom{4n}{2p+1}.$$ Enoncé Soient $m,k$ deux entiers naturels. Justifier que $$\binom{m+k}{m}=\binom{m+k+1}{m+1}-\binom{m+k}{m+1}.$$ En déduire, pour tous entiers naturels $m,n\in\mathbb N^*$, la valeur de $$S=\sum_{k=0}^n \binom{m+k}{m}.$$ En déduire celle de $$P=\sum_{k=0}^n \left\prod_{p=1}^mk+p\right.$$ Enoncé Quel est le coefficient de $x^ay^bz^c$ dans le développement de l'expression $x+y+z^n$? Enoncé Calculer les sommes suivantes $${S}_{n}=\sum^{n}_{k=0} -1^k\binom{n}{k}^{2}\textrm{ et } {T}_{n}=\sum^{n}_{k=0}k\binom{n}{k}^{2}.$$ Enoncé L'objectif de l'exercice est de démontrer la surprenante! formule suivante $$\sum_{k=1}^n \binom nk\frac{-1^{k+1}}k=\sum_{k=1}^n\frac 1k.$$ Soit $x$ un réel non nul. Démontrer que $$\frac{1-1-x^n}{x}=\sum_{p=0}^{n-1}1-x^p.$$ On pose pour $x\in\mathbb R$, $$fx=\sum_{k=1}^n \binom nk \frac{-1^k}k x^k.$$ Démontrer que, pour $x\in\mathbb R$, on a $$f'x=-\sum_{p=0}^{n-1}1-x^p.$$ Conclure. Enoncé Le but de l'exercice est de démontrer que l'équation $x^2-2y^2=1$ admet une infinité de solutions avec $x,y$ des entiers naturels. Soit $n\geq 1$. Démontrer qu'il existe deux entiers $x_n$ et $y_n$ tels que $3+2\sqrt 2^n =x_n+\sqrt 2 y_n.$ Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. En déduire que les suites $x_n$ et $y_n$ sont strictement croissantes. Démontrer le résultat annoncé. Objectifs Connaitre la formule de la somme des n + 1 premières puissances d'un nombre et l'utiliser. Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, directement ou non. Calculer la limite de cette somme. Pour bien comprendre Connaitre la notion de suite. Savoir ce qu'est une suite géométrique. Calculer le terme général d'une suite. Calculer les puissances d'un nombre. 1. Rappels sur les suites géométriques On dit qu'une suite un est géométrique s'il existe un réel q non nul tel que, pour tout n entier naturel, on ait un+1 = qun. Le réel q s'appelle la raison de la suite. Exemple La suite définie par un+1 = 2un avec u0 = 1 est une suite géométrique de raison 2. Les premiers termes de cette suite sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16… Dire qu'une suite de termes non nuls est géométrique signifie que le quotient de deux termes consécutifs quelconques est constant, quel que soit n. Propriété Le terme général d'une suite géométrique un peut s'exprimer directement en fonction de n avec un = u0qn ou un = upqn–p quel que soit p, entier naturel. Il est ainsi possible, connaissant u0 ou up et q, de calculer n’importe quel terme de la suite. Exemple Pour une suite géométrique de raison –0,3 et de premier terme u0 = 7, on peut écrire un = u0 × –0,3n et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite. Par exemple, u4 = 7 × –0,34 = 7 × 0,0081 = 0,0567. 2. Somme des puissances d'un réel q Propriété Soit q un réel et n un entier naturel. On a S = 1 + q + q2 + … + qn = pour q ≠ 1. Remarque Pour q = 1, cette somme vaut simplement . Démonstration S = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn En multipliant S par q on obtient qS = q + q2 + q3 + … + qn+1. Soustrayons membre à membre ces deux inégalités S – qS = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn – q + q2 + q3 + ... + qn + qn+1 Dans le membre de droite, q, q2, q3, …, qn s'éliminent. Ainsi, il reste S1 – q = 1 – qn+1. En divisant par 1 – q, pour q ≠ 1, on obtient . On retiendra que n + 1 est le nombre de termes dans la somme S. Exemple La somme des 10 premières puissances de 2 est S = 1 + 2 + 22 + … + 29 = = 210 – 1 = 1023. 3. Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique a. Première formule On considère la suite géométrique un de raison 1,2 et de premier terme u0 = –4. Calculons la somme S = u3 + u4 + … + u15. L'expression de un en fonction de n est un = u0 × qn = –4 × 1,2n. Ainsi, la somme S s'écrit S = –4 × 1,23 – 4 × 1,24 … – 4 × 1,215 et, en factorisant par –4 × 1,23 , on obtient S = –4 × 1,23 [1 + 1,2 + … + 1,212] En utilisant la formule 1 + q + q2 + q3 + … + qn = on obtient Sn = u0 + … + un = u0 × Spn = up + … + un = up × Remarque On peut bien sûr retenir ces formules, mais on les retrouve rapidement en combinant le terme général d'une suite géométrique et la somme des premières puissances de la raison q. b. Deuxième formule Soit un une suite et n et p deux entiers naturels. Propriétés Soit S = up + up+1 + … + un une somme de termes consécutifs d’une suite. Le nombre de termes de cette somme est n – p + 1. Le premier terme de cette somme est up. Si cette suite est géométrique de raison q, alors on peut mémoriser cette somme par S = 1er terme × Exemple Soit un une suite géométrique de raison 4 telle que u5 = 1. Alors S = u5 + u6 + … + u12. S = 1er terme × Or 1er terme = u5 = 1 ; raison = 4 ; nombre de termes de S = n – p + 1 = 12 – 5 + 1 = 8. S = 1 × = 21 845 c. Troisième formule Soit un une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 . Sn = u0 + u1 + u2 + … + un Sn = u0 × Sn = Sn = Or un = u0qn Donc Sn = Autrement dit, Sn = . Exemple On va calculer S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128. On reconnait une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 2. Donc S = = 255. 4. Comportement de cette somme lorsque n tend vers +∞ Vous avez déjà mis une note à ce cours. Découvrez les autres cours offerts par Maxicours ! Découvrez Maxicours Comment as-tu trouvé ce cours ? Évalue ce cours !

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